泸县初中2020届第二次教学质量诊断性检测

数学试题

全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分120分.考试时间共120分钟.

注意事项：

1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号.考试结束，将试卷和答题卡一并交回.

2.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.的倒数为                                                        

A.  B.       C.        D. 

2.计算的结果为                                                  

   A.          B.              C.              D.

3.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小军同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是                                

   A．       B．      C．     D．

4.我国高铁发展迅速，截止2019年底，全国高铁总里程突破3.5万千米，稳居世界第一.将 3.5万千米用科学记数法表示正确的是                                                                      

A.3.5×10³千米    B.3.5×10⁴千米      C.3.5×10⁵千米      D.3.5×10⁶千米

5.下列几何体中，主视图和俯视图都为圆的是                                

A              B               C                D

6.在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是

A．92，96   B．90，96   C．92，98   D．91，92

7.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是

A.             B.           C.              D.

8.在菱形ABCD中，AB=2，∠BCD=120°，则对角线BD等于                  

  A.          B.3               C.2             D.

9.关于x的一元二次方程（k+1）x²-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是                                                                      

A．k≥0         B．k≤0         C．k＜0且k≠-1    D．k≤0且k≠-1

10.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则下列方程组正确的是                                                                

A.     B.    C.      D.   

11.如图，直线y=x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，点D，E分别是直线AB，y轴上的动点，则△CDE的周长的最小值是

A.         B.         C.          D.

12.如图，正方形ABCD边长为2，以AB为直径作半圆，点P是CD 中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝2；②；③S_△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确的结论有 

A.①②③         B.②③④           C.①②④          D.①②③④

第Ⅱ卷（非选择题 共84分）

注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.分解因式：=▲.

14.关于的一元二次方程的两实数根分别为

，且，则m的值是▲．                                                       

15.在△ABC中，AB=，BC=1，∠ABC=45⁰，以AB为一边作

等腰直角△ABD，使∠ABD=90⁰，连接CD，则线段CD的长是▲. 

16.如图，直线y=x+4与y轴交于A₁，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O,

A₂B₂C₂C₁,A₃B₃C₃C₂,…，点A₁,A₂,A₃,…在直线y=x+4上，点

C₁,C₂,C₃,…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右

依次记为S₁,S₂,S₃,…,S_n，则S_n的值为▲（用含n的代数式表示，

n为正整数）.

三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17.计算：.

18.如图，在□ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．

求证：CF=BC．

19.先化简，再求值：，其中.

四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）

20.学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，王老师一共调查了多少名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．

21.某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元.

(1) 如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？

(2) 如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，该公司有几种不同的购买方案？

五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

22.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以千米/时的速度沿北偏西60⁰方向前进，乙船以15千米/时的速度沿东北方向前进，甲船经过2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75⁰方向追赶，结果两船在B处相遇.

（1）甲船从C处追赶乙船用了多少时间？

（2）甲船追赶乙船的速度是多少？

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，3），点C的坐标为（-1，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，点E是AB边上一点（点E不与点A，B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．

（1）求证：AE=BF；

（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；

（3）若AE=3cm，EB=6cm，求DG的长．

25.如图，抛物线的对称轴，且经过A（-4，0），C（0，2）两点，与x轴交于另一点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

泸县初中2020届教学质量第二次诊断性检测

数学试题参考答案

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13. 2(a+2)(a-2)；14.；15.5或；16..

三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17.解：原式=……………………………………………………4分

         =……………………………………………………………5分     =3.…………………………………………………………………………………6分

18. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

     ∴AD=BC，AD∥BC，…………………………………………………………………1分

∴∠DAE=∠F，…………………………………………………………………………2分

又∵点E是CD的中点，∴DE=CE. …………………………………………………3分

又∵∠AED=∠FEC，…………………………………………………………………4分

∴△ADE≌△FCE(AAS)，……………………………………………………………5分

∴CF=AD，

∴CF=BC.  ……………………………………………………………………………6分

19.解：原式=……………………………………………………2分

          =…………………………………………………………………3分

          =.…………………………………………………………………………4分

    当时， 

原式=.………………………………………………………6分

四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）

20.解：（1）共调查的学生人数为：（2+1）÷15%=20（名）；……………………………2分

（2）如图所示：

                                                  ……………………………4分

（3）列表得：

…………………………………………………………………………………………………6分

共有6种等可能的结果，其中一男一女的有3种，

∴P(一男一女)=. ……………………………………………………………………7分

21.解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20-x）件，………………1分

根据题意得40x+30（20-x）=650，……………………………………………………2分解得x=5， …………………………………………………………………………………3分

则20-x=15，

答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；…………………………………4分

（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20-x）件，

根据题意，得， ………………………………………………5分

解之，得，

∵为整数，∴=7或=8，……………………………………………………………6分

当x=7时，20-x=20-7=13；当=8时，20-x=20-8=12；

答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件． …………………………………7分

五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

22.解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．………………………………………………1分

由题意可知∠BAC=105°，∠ACB=45°，则∠B=30°. ……………………………………2分

在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AC=2×15=30，

∴AD=CD=ACsin∠ACD=30sin45°=30×=30. ……………………………3分

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，

∴AB=2AD=2×30=60，BD=ABcosB=60cos30°=

60×=30.…………………………4分

∴甲船从C处追赶上乙船的时间是：（小时）；…………………………5分

（2）BC=CD+BD=30+30， ………………………………………………………………6分

∴甲船追赶乙船的速度是（30+30）÷2=15+15（千米/时）. …………………7分

答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+15千米.

…………………………………………………………………………………………………8分

23.解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D.

由A(n，3)，C（-1，0），可得OD=n，AD=3，CO=1. …………………………1分

∵tan∠ACO=2，∴，即，∴. ………………………………2分

∴点A的坐标为（，3）.  ……………………………………………………………3分

将点A（，3）代入中，得，

∴反比例函数的解析式为. ………………………………………………………4分

将A（，3），C（-1，0）代入y=kx+b中，得，解之，得，

∴一次函数的解析式为y=2x+2. …………………………………………………………6分

（2）由可得2x+2=，解得，.

当时，，

∴点B的坐标为（，）. …………………………………………………………7分

∴.…………………………………8分

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

24.（1）证明：

∵∠ABC=90⁰，AB=BC，∴∠A=∠C=45⁰. ………………………………………………1分

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90⁰，即BD⊥AC， 

∴AD=DC=BD=AC， ∠CBD=∠C=45⁰，………………………………………………2分

∴∠A=∠FBD. ………………………………………………………………………………3分

∵DF⊥DG，∴∠FDG=90⁰，

∴∠FDB+∠BDG=90⁰，∴∠EDA=∠FDB. ………………………………………………4分

在△AED和△BFD中，

∴△AED≌△BFD(ASA),

∴AE=BF. ……………………………………………………………………………………5分

(2)证明：∵△AED≌△BFD，∴DE=DF，………………………………………………6分

∵∠EDF=90⁰，∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45⁰，………………………………………………………………………………7分

∵∠G=∠A=45⁰，∴∠G=∠DEF，

∴GB∥EF；…………………………………………………………………………………8分

（3）∵AE=BF=3，

在Rt△EBF中，EF=.………………………………9分

∵△EDF是等腰直角三角形，∴∠EDF=90⁰，

∴cos∠DEF=,即DE=EFcos∠DEF=cos45⁰=.……………10分

∵△GEB∽△AED， ∴,即GE·ED=AE·EB，

 ∴，即GE=，…………………………………………………11分

故GD=GE+DE=+=(cm). ………………………………………12分

25.解：(1) ∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴x=，且经过A（﹣4，0）,

∴点B的坐标为（1，0）. …………………………………………………………………1分

∵抛物线过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为，……………………………………………2分

又∵抛物线过点， ，∴，∴， ………………………………3分

∴.……………………………………………………………………4分

（2）∵直线AC经过A（﹣4，0）、C（0，2）两点，

可求出直线AC的解析式为.

设P（m，m²m+2)， 过点P作PQ⊥x轴

交AC于点Q， ∴Q(m,m+2)，

∴PQ=m²m+2－(m+2)

    =m²－2m……………………………………………………………………………5分

∵=PQ4

       =2PQ=－m²－4m=－(m+2)²+4，

 ∴当m=－2时，ΔPAC的面积有最大值是4. ……………………………………………6分

 此时点P的坐标是（－2，3）. ……………………………………………………………7分

（3）在RtΔAOC中，tan∠CAO= ，      

在RtΔBOC中，tan∠BCO=，

∴∠CAO=∠BCO .

∵∠BCO+∠OBC=90°

∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，

∴ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO.

       ① 当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC；…………………………8分

       ② 根据抛物线的对称性，当M(－3，2) 时，ΔMAN∽ΔABC；…………………………9分  

       ③ 当点M在第四象限时，设M（n，n²n+2），则N(n，0)，

 ∴ MN=n²+n－2， AN=n+4.

 当时，MN=AN，即n²+n－2=(n+4)，解之，得n₁= －4(舍)， n₂=2，

 ∴M（2，－3）…………………………………………………………………………10分

 当时，MN=2AN，n²+n－2=2(n+4)，解之，得n₁= －4(舍)，n₂=5，

∴M（5，－18）. …………………………………………………………………………11分

 综上所述：存在M₁（0，2），M₂(－3,2)， M₃（2，－3），M₄（5，－18）, 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似. ……………………………………………………………12分