泸县初中2020届第一次教学质量诊断性检测

数 学 试 卷

本试卷分为选择题和非选择题.试卷共4页，全卷满分120分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.

注意事项：

1.选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

2.非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.

1.一元二次方程的根是                                                                                  

A.0               B.1               C.0，－1             D.0,1  

2.若一元二次方程x²﹣2kx+k²＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为

A.﹣1B.0 C.1或﹣1 D．2或0

3.关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是                                                

 A.         B.        C.且      D.且

4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是                                

5.小明同学从-1,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1的概率是

A.               B.                C.                 D.

6.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为

A.（-3，4）       B.（-3，-4）       C.（-4，3）         D.（4，3）

7.抛物线的顶点坐标是                                              

A．（-1，2）　　   B．（1，2）　　     C．（1，-2）　       D．（-1，-2）

8.将抛物线y=x²向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线的解析式是

A. y=(x-1)²-2      B.y=(x+1)²+2　　    C.y=(x-1)²+2　       D.y=(x+1)²-2

9.75⁰的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是

A.6 cm          B.5cm             C.4 cm              D.2 cm

10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB的度数是

A.54°B.64° C.27° D.37°

11.如图，在⊙O中，弦AB=8，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是

  A.2              B.4              C.6              D.8  

12.如图是二次函数y＝ax²+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b²，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是

A．①②③B．①②④ 

C．②③④D．③④⑤

二、填空题（每小题3分，共12分）

13.如果x₁，x₂分别是一元二次方程x²-2x-4=0的两个根，那么x₁²+x₂²的值是_   ▲    ．

14.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为_   ▲    ．

15.当时，直线y=a与抛物线y=(x-1)²-3有交点，则a的取值范围是_   ▲    ．

16.如图，已知直线x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA，PB．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为_   ▲    ．

三、解答题（每小题6分，共18分）

17.解方程：x(x-3)=6-2x.

18.已知：关于的一元二次方程.

（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一根大于2，另一根小于2，求的取值范围.

19.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，弦AD交BC于点E，连接BD.

（1）求证：∠ABC=∠ADB；

（2）若AE=6cm，DE=2cm，求AB的长.

四、解答题（每小题7分，共14分）

20.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，

△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．

（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁；

（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积

（结果保留π）．

21．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元．

（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？

（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？

五、解答题（每小题8分，共16分）

22.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了多少人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

23.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积.

六、解答题（每小题12分，共24分）

24.如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为弧的中点，连接交于，，连接BD.

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径，，求△ABD的面积.

25.如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上AC上方是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

泸县初中2020届第一次教学质量诊断性检测

数学试题参考答案

一、选择题（每小题3分，共36分）

二、填空题（每小题3分，共12分）

13. 12；14.；15.；16.(- ，）.

三、解答题（每小题6分，共18分）

17.解：原方程可化为：

（x-3）（x+2）=0，3分

∴x-3=0或x+2=0， 5分

即x=3，x₂= -2.6分

18. (1)证明：∵△=（4m+1）²4（2m-1）=16m²+5， 1分

∴不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根. 2分

(2) 解：设这个方程的两根分别为x₁，x₂，

   则x₁+x₂=（4m+1），x₁▪x₂=2m-1.3分

∵x₁，x₂2，4分

∴x₁x₂0，

即（x₁x₂0，5分

∴x₁▪x₂-2（x₁+x₂）+4，

∴2m-1+2（4m+1）+4.

解之，得m. 6分

19. （1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， 1分

又∵∠ADB=∠C， 2分

∴∠ABC=∠ADB. 3分

(2) ∵∠ABC=∠ADB，∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，4分

∴， 5分

即AB²=AE▪AD=6（6+2）=48，

故AB=4(cm) 6分

四、解答题（每小题7分，共14分）

20. 解：（1）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A₁B₁C₁如图所示； 3分

（2）BC扫过的面积=﹣

=． 7分

21. 解：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，

根据题意，得：，2分

解得：，4分

答：每台A型电脑的价格为3200元，每台B型打印机的价格为1500元；

（2）设学校购买m台B型打印机，则购买A型电脑为（m﹣1）台，

根据题意，得：3200（m﹣1）+1500m≤20000，5分

解得：，

m为正整数，所以m的最大取值为4.7分

答：该学校至多能购买4台B型打印机．

五、解答题（每小题8分，共16分）

22.解：（1）本次活动调查的总人数为

（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人3分

（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，

补全图形如下：

5分

（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C.

画树状图如下：

7分

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=． 8分

23.（1）y=30-2x（6≤x＜15）．2分

（2）设矩形苗圃园的面积为S平方米.

则S=xy=x（30-2x）=-2x²+30x， 4分

∴S= -2（x-7.5）²+112.5， 5分

∵a=-20，∴S有最大值.6分

由（1）知，6≤ x＜15，

∴当x=7.5时，S_最大值=112.5， 7分

即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5平方米． 8分

24.(1)证明：连接OA，OD. 1分

∵点D是弧BE的中点，∴∠BOD=∠EOD =90°，2分

∴∠ODF+∠OFD =90°.

又∵∠OFD=∠AFC，

∴∠ODF +∠AFC =90°. 3分

又∵AC=FC，∴∠AFC=∠CAF. 4分

∵OA=OD，∴∠ODF =∠OAF. 

∴∠OAF+∠CAF =90°，即∠OAC =90°.5分

故AC是⊙O的切线； 6分

(2)解：过点B作BG⊥AD于G. 7分

∵∠BOD =90°，OB=OD=R=5，

∴BD==5， 8分

∵点D是弧BE的中点，∴∠BAD=45°，

∵∠AGB=90°，∴∠ABG=∠BAD=45°，即BG=AG.9分

∴2=，

∴BG=AG=4. 10分

又∵DG==3, 

∴AD=AG+DG=4+3=7. 11分

故S_△ABD=AD=28(cm²) 12分

25.解：（1）将A,B,C三点的坐标代入中，

得..2分

解之，得

∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3. 3分

（2）设直线AC解析式为y=kx+h，

将A（-3，0），C（0，3）代入，得

4分

解之，得,

∴直线AC的解析式为y=x+35分

过点P作PE⊥x轴，垂足为E，与AC相交于点D.

设点P的坐标为（m，-m²-2m+3），则点D的坐标为（m，m+3）. 

∴PD=(-m²-2m+3)-( m+3)= -m²-3m.

∵S_△ACP=PD)，S_△ACB， 6分

∴=， 7分

解之，得m₁=-1，m₂=-2. 8分

当m=-1时，-m²-2m+3=4，

当m=-2时，-m²-2m+3=3，

∴点P的坐标为（-1,4）或（-2,3）. 9分

（3）①以AC为对角线，如图ⅰ

MC∥x轴，M与C关于抛物线对称轴对称，所以M点的坐标为

（-2，3），Q点的坐标为（-1，0）；10分

②以AM为对角线，如图ⅱ

MC∥x轴，所以M点的坐标为（-2，3），Q点的坐标为（-5，0）；11分

③以AQ为对角线，如图ⅲ

过M作x轴的垂线，垂足为D，△DMQ≌△OCA,所以DM=3，有-3=-x²-2x+3，解得，

Q点的坐标为（，0）或（，0）

所以，点Q的坐标为（-1，0）或（-5,0）或（2-，0）或2+，0）. 12分