直线与圆的位置关系(复习课导学案)
泸县四中 孙月宽
一.基础知识要点复习 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系 | 相交 | 相切 | 相离 | |||||
公共点个数 | 2个 | 1个 | 0个 | |||||
判定 方法 | 几何法:设圆心到直线的距离d=
| d<r | d=r | d>r | ||||
| 代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
二.典型题型
题型一 直线与圆位置关系的判断
1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
2.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
3.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.
若直线与圆相切,则m=________;
若直线与圆相离,则m的范围是________.
【方法技巧】
判断直线与圆位置关系的三种方法
1.几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
2.代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
3.直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
题型二 有关圆的切线问题
【例1】过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.
【方法技巧】
圆的切线的求法
1.点在圆上时:
求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程x=x0或y=y0.
2.点在圆外时:
(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就是切线方程.
(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程.
特别注意:切线的斜率不存在的情况,不要漏解.
【变式训练】
1. 直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( )
A.0或2 B.2 C. D.无解
2.过点A(2,1),作圆的(x-3)2+(y-1)2=1切线,则切线方程为________.
3. (多填题)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=______,r=________.
题型三 有关圆的弦长问题
【例2】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
【变式探究】若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为,求该直线方程”,又如何求解?
【方法技巧】
求弦长常用的三种方法
1.利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系(l)2+d2=r2解题.
2.利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长.
3.利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长
l=|x1-x2|=.
【变式训练】
1.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.
2.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,求圆C的方程.
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